PARÁMETROS

Un ejercicio muy común en Selectividad, especialmente combinándolo con derivadas, son los ejercicios de parámetros. Básicamente, nos dan unas condiciones, y tenemos que conseguir una función que las cumpla. Normalmente, suelen ser facilitos, o, mejor dicho, automáticos. La mayoría de alumnos consiguen hacerlos rápidamente. Tenemos unos valores, conseguimos una función. ¿Pero para que sirve eso?
Lo cierto es que una tabla de datos, normalmente, de poco sirve. No queremos datos; queremos información, conclusiones. Y los números sueltos no ayudan en ese sentido. En cambio, los “generadores” de números sí, porque si conocemos a los padres, lo sabemos todo.
Esos padres pueden ser funciones. Esas cosas a las que les das un número y te devuelven otro. Esas expresiones de las que podemos analizar dominio, rango, monotonía, derivadas, integrales, curvatura… En cambio, de los números no podemos saber nada.
Así que lo que podemos hacer es “adivinar” cómo son los padres. Si tenemos estos puntos:
podemos intentar dibujar una función que los contenga. Así, podremos analizarlos de una forma muchísimo más productiva. Sería algo así:

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Bueno, pues para eso, el método de los parámetros es increíblemente útil. Si miramos bien ese gráfico, vemos que nuestros puntos son (1,2), (2,½), (3,1) y (⁷/₂, 4). Como son 4 puntos, vamos a decir que es un polinomio de tercer (4-1) grado. Podría no ser un polinomio, sino una función exponencial o trigonométrica, pero eso lo dejamos para otro día.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Entonces, tenemos f(x)=ax³+bx²+cx+d, y los puntos que hemos dicho antes. Si calculamos los parámetros (¡rápido, coge papel y hazlo por ti mismo!), conseguimos f(x)=¹⁶/₁₅x³-²⁷/₅x²+²¹⁷/₃₀x+⁹/₁₀ . Y si comprobamos…

 

 

 

 

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¡¡Encaja perfectamente con los puntos!! Así, podemos intentar predecir el resto de puntos y muchas cosas más sobre el comportamiento de estos números. Eso sí, sólo deberíamos fiarnos de la parte de la función que esta entre los puntos iniciales (esto es, entre x=1 y x=⁷/₂), ya que los parámetros no son infalibles.
Veamos un ejemplo, y usando derivadas. Estás en un primer piso, a 3 m del suelo, y tiras una bola hacia arriba, que llega a su máximo pasado medio segundo, y luego llega al suelo segundo y medio después de tirarla. ¿Cuánto de alto ha llegado la bola?
Recopilemos datos de tiempo y altura. Al empezar (t=0), la altura era 3 m (h=3). Y al de un segundo y cuarto (t=1,25), la bola ha llegado al suelo (h=0). Además, la bola ha llegado a su máxima altura en medio segundo (t=0,5). Eso quiere decir que la derivada de h era nula (h’=0). Con estos tres pares de datos, podemos hacer un polinomio de segundo grado: ax²+bx+c. ¡Inténtalo!
Vemos que nuestro polinomio es h(t)=-9,8x²+10x+3. Pues con eso, ¡¡ya podemos aproximar la altura de la bola durante todo el trayecto!!

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

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Por supuesto, los científicos no hacen sólo eso, sino que tienen que buscar una justificación para el grado del polinomio, o para usar otra función (como la exponencial). En este caso, la caída por gravedad sí que se mide con un polinomio de grado 2 (y el coeficiente siempre será 9,8m/s²), y es importante calcularlo bien para no hacer malas predicciones, y que estas conduzcan a malas decisiones. Así que sí, el signo de esa b sí era para tanto.