EL RIGOR MATEMÁTICO

Cualquiera que haya hecho una demostración en Matemática se habrá dado cuenta de cuántas normas hay que seguir. Los pasos lógicos son a veces muy pedantes y incluso a veces cansinos. Lo más representativo de esto es el hecho de que, para demostrar rigurosa y detalladamente que 1+1=2, desde cero y definiendo todos y cada uno de los símbolos usados, se necesitan alrededor de 60 páginas.

Hay que analizar con exactitud todos y cada uno de los pasos que hay que dar, y asegurarse de que no hay casos específicos, como lo son la división entre 0 o los signos al elevar al cuadrado.

Pero en muchos de estos casos, ocurre una cosa. Por ejemplo, al sumar números impares. 1+3=4. 1+3+5=9. 1+3+5+7=16. 1+3+5+7+9=25. Vemos que el patrón es 1, 4, 9, 16, 25… es decir, los cuadrados de los números naturales. Y podemos comprobar con el ordenador que se cumple hasta 100 000 impares (el límite de Excel). Aun así, eso no justifica que la suma de n impares es n2. ¿Pero por qué? ¿Qué necesidad hay de complicarlo todo?

La razón es que ese patrón no asegura nada. El ejemplo más representativo implica a los números primos. Se le llama π(x) (sí, como el número 3,14…, pero no tiene nada que ver) a la función que nos dice cuántos números primos hay menores o iguales a x. Es decir, π(2)=1, π(7)=4, π(12)=5… Por otro lado, existe una función, llamada logaritmo integral, con esta complicada expresión: (no es necesario entenderla).

Bueno, pues durante mucho tiempo se creyó que esta función era una muy buena estimación de π(x), y que siempre daría un número inferior a π(x). Es decir, li(x)< π(x) para todo x∈ℕ (para todo x que sea entero). Los cálculos eran sólidos, y se descubrió que se cumplía hasta los mil millones y más allá. ¿Qué más pruebas necesita, señoría?

Pero mira tú por dónde, que llego Littlewood a principios del siglo XX, y mediante matemáticas, descubrió que esto no es así. Existe un número en el que π(x) es más pequeño que li(x). No solo eso, existen infinitos números. Los mil millones de números eran sencillamente muy pocos.

Lo más interesante de esta demostración es que no se sabe qué número es. Solo se sabe que tiene que haber uno. Siguiendo esas mismas normas lógicas, tiene que haber uno. Pero es tan grande que, a 2022, no se ha descubierto todavía. Se sabe, al menos, que es menor que 10317, pero eso sigue siendo una cota astronómicamente grande.

Pero al menos, gracias a la lógica y al no generalizar sin demostración, sabemos que no hemos cometido un error, y que el enunciado “li(x)<π(x) para todo x∈ℕ” es falso. Y podremos construir más demostraciones basándonos en eso, ya que sabemos 100,0000% que es falso.

Esta particularidad de las matemáticas se basa, sencillamente, en que las matemáticas no son una ciencia. No tiene el componente de experimentos. En física si se puede decir que una fórmula se cumple si unos cien experimentos la verifican. Y en biología. Pero no en matemáticas. O demostración o nada.

Esto no será nada practico y fácil, pero es extremadamente útil. De hecho, las ciencias la utilizan muchísimo, ya que permite construir ecuaciones gigantes en base a principios muy básicos.

Por ejemplo, la gravedad. Newton vio que todos los objetos a su mano caían a la misma velocidad. De ahí, dedujo que la gravedad afecta a todos independientemente de la masa. Y ciertamente, no se ha encontrado ningún ejemplo en el que no sea así. Por lo que se asume que es cierto. Asume. Pero es que a partir de ese principio, reflejado en la formula (F=GMm/r²), podemos deducir muchas otras (E=GMm/r). Y sabemos 100% que si la primera es verdad, la segunda también. De esa forma, las ciencias no tienen que asumir, y por tanto arriesgar, tanto.

Así que sí, ese pasito de dudosa certeza que diste en tu demostración sí es para tanto.